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タイル並べとフィボナッチ数列の関係

タイル並べとフィボナッチ数列の関係
正にそこには螺旋が存在していたからだ。 その瞬間、きまぐれな数、素数と僕は運命の出会いとなった。 そこには何か大切な物が潜んでいるのではないかという直感と衝撃があり、 この先を知りたいという衝動がはたらいていた。 以来15年、僕の作品には題材として素数が使われ、必然か偶然かを問うものとなっている。 何故なら、素数にルールが在るか否かは未だに証明されていない。

BackLog

でもって、「自然数」とか「素数」とか「約数」とか「倍数」とかについて、定義することを考えたとしよう。
このとき、「タイルが一枚しかないときはどうする?」「じゃあ、タイルが0枚のとき、つまり一枚もないときはどうする?」「0はすべての数の“倍数”ってことにしちゃっていいの?」「1はすべての数の“約数”ってことでいいの?」「ある数について、それ自身を倍数と考えちゃっていいの?」「ある数について、それ自身を約数と考えちゃっていいの?」とかいった議論はできると思う。
で、そこから「定義」とか「証明」とか「反例」とか「矛盾」とか「定義の循環」とかいうことに思い至るのである。「最大公約数は約数であり最小公倍数が倍数であるとするならば、素数の定義はどうなる? あるいは“互いに素である”というのはどう定義できる? 完全数というのはどういう意味だと考えたらいい?」みたいなことは、一度は考えておいたほうがいい。「『完全数』というのは、昔の数学者が使った一種のジャーゴンだと思っておいたほうが精神衛生上はいいと思う。あれは定義からいうとあんまり完全っぽくないし、素数のように使いでのある概念でもない。」くらいのことは言っておかないと、学生が無駄に悩んだりすることもある。

もう一度、m×nの長方形に並べた状態を考えよう。このとき、m≠nであって、m<nとする。これは正方形ではない。
この領域から、辺の長さが領域の短いほうの辺の長さに等しい正方形を取り去る。これを、領域の形が正方形になるまでくり返す。
で、最終的に正方形になったとき、その辺の長さはmとnの最大公約数に等しくなる。
これは結局、ユークリッドの互除法と同じことをやっていることになる。
二つの数の大きいほうから小さいほうを引いてゆくのだから、この手続きは有限回で終わるわけで、いつかは(つまり、有限回の操作で)停止するということがわかる。

こうやって基礎固めをしておくと、数学に対する嫌悪感を生むリスクはそれなりに軽減できるように思う。「まだそういう本が出版されていないのなら、誰かそういう本を書いてくれないか?」と思ったが、「お前が書け」と言われそうだな。そしてまた BackLog が溜まってゆくのである。どっとはらい。

ハニカム構造について-ハチの巣はなぜ六角形なのか?- | ニッセイ基礎研究所

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正六角形

1点の周りをm個の正n角形で隙間なく埋めるためには、以下の式が満たされなければならない。

平面充填可能な正多角形

(参考)さらなる平面充填のパターン
なお、正多角形に限定せずに、変形した多角形を許容する場合には、さらに別の「1種類の多角形で敷き詰める」パターンも考えられることになる。代表的なパターンとしては、平行四辺形が該当するが、それ以外にも数多くのパターンが考えられる。

また、1種類ではなく「2種類以上の正多角形で敷き詰める場合」も考えられることになる。この場合には、可能な組み合わせは8つのケースしかない、ことが知られている。これらの内容については、別途の研究員の眼で報告することとして、ここではこれ以上詳しくは触れないこととする。

いわゆる「等周問題」について

いわゆる「等周問題(isoperimetric problem」と呼ばれるのは、「外周の長さが与えられた平面図形の中で最大の面積をもつものは何か」とか、「表面積が与えられた立体の中で最大の体積をもつものを何か」という問題である。これらの問いに対する解は、直感的にも一定程度は推定できると思われるが、それぞれ「円」や「球」になる(この点をここで証明することは容易ではないので、ここでは結果だけを受け入れてもらうこととする)。

そこで、次に、多角形のケースを考える。これについても、「外周の長さが一定である多角形の中で、面積が最大のものは正多角形である」ことが知られている。これについての一般的なケースの証明は容易ではないので、ここでは三角形のケースを示しておく。

外周の長さが一定である三角形の中で,面積が最大のものが正三角形であることの証明

ヘロンの公式

相加相乗平均の不等式

左辺と右辺をそれぞれ整理すると

得られる式

それでは、なぜ「正三角形」や「正四角形」ではなく、「正六角形」なのか

(1) 正三角形の場合
1辺の長さは1/3であることから、その面積は、
底辺×高さ÷2=(1/3×1/3×√3/2)÷2=√3/24

(2) 正四角形の場合
1辺の長さは1/4であることから、その面積は、
1/4×1/4=1/16

(3) 正六角形の場合
1辺の長さは1/6であり、P2の図で示したように6つの正三角形に分割できることから、その面積は、
((1/6×1/6×√3/2)÷2)×6=√ 3/16

以上の結果において、大小関係は以下の通りとなる。
√3/24 < 1/16 < タイル並べとフィボナッチ数列の関係 √3/16

以上より、「外周の長さが一定の場合、正三角形、正四角形(正方形)、正六角形の中では、正六角形の場合に面積が最大になる」ことになる。

「ハニカム構造」は、強度の観点からはどうなのか

力の分散

一方で、「力の分散」という観点からは、正六角形の場合には、外部からの力(衝撃)を5方向に分散できるというメリットがあり、衝撃吸収力が優れていると言えることになる。また、この観点からも、一般の多角形よりも正多角形の方が、バランスを取る形で力を分散できることから適当ということになる。

ハチの巣が六角形である理由

「ハニカム構造」の応用例

以下の図が示すように、ハニカムを芯材として表面板で挟み込んだ構造材料は、「ハニカムサンドイッチ構造」、「サンドイッチパネル」、「ハニカムパネル」等と呼ばれており、幅広く利用されている。

・飛行機の翼のパネル
・ロケットのフェアリング 2
・レーシンガー等の車体
・駅のホームの落下防止ドア
・建築材料

ハニカムサンドイッチ構造

また、原子レベルにおいては、炭素同士の六角形での結合が強度を生み出すことから、「カーボンナノチューブ」は全体がその六角形の結合から構成され、その軽さ、細さ、柔軟性に対して、強度が強く、さらに非常に高い導電性、熱伝導性・耐熱性を有していることから、次世代の炭素素材として、様々な用途向けの開発が行われてきている。

これ以外に有名なものとして、「サッカーのゴールネット」の例が挙げられる。以前は格子状(四角形)のネットが使用されていたが、2000年頃からハニカム状(六角形)のネットが使用されるようになっている。この理由としては、シュートしたボールがゴールに突き刺さってネットに絡みとられて、ダイナミックなゴールシーンが見えるという演出的な理由が挙げられているようだ。この背景には、(1)(先に述べたように)四角形の場合に比べて、六角形の場合には同じ空間を埋めるのに必要なネットの量が少なくて済むことから、ネットを通じて向こう側が見やすくなっているとか、(2)ネットの伸縮の方向がより幅広くなっていることから、ボールがネットにあまり影響されずにより自然にゴールに吸い込まれていける、というような事実が関係していることになる。

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